Né en 1970 à Barcelone, ce Catalan a commencé à courir dans les championnats locaux dès son plus jeune âge, avant d'entamer sa carrière internationale à l'âge de 17 ans. Après avoir impressionné dans la catégorie 80cc et remporté un titre en 1989 dans la catégorie 125cc, il décide de passer à la catégorie 250cc où il roulera pendant deux ans, mais sans grand succès. En effet, Crivillé ne réussira même pas à monter une seule fois sur le podium ! Ce qui ne l'empêche tout de même pas d'être engagé par Pons Racing, en 1992, dans le championnat 500cc. Les éventuels doutes sont rapidement dissipés puisque Crivillé remporte le TT d'Assen au guidon de sa Honda NSR500.

En 1994, Àlex Crivillé devient le premier pilote espagnol de l'histoire à rejoindre l'équipe d'usine Honda. Il y sera l'équipier de Mick Doohan et Shinichi Ito. Après quelques belles deuxièmes et troisièmes places au championnat, avec un Mick Doohan au-dessus du lot tout auréolé de ses 5 championnats consécutifs, 1999 va marquer un tournant et permettre à Crivillé d'imposer sa loi.

Victime d'une chute brutale lors d'une séance de qualification pluvieuse à l'occasion du GP d'Espagne, Mick Doohan se relève avec de multiples fractures. Ce qui, soudain, donne à Àlex Crivillé de très bonnes chances de remporter le titre. De bons résultats et plusieurs victoires lui ouvrent, en effet, la voie vers le titre. Jusqu'à ce que, lui aussi, ne chute lors du GP de Valence à quelques tours de la fin. En Australie également, Crivillé tombe lors des qualifications. Victime d'un high side, il se relève avec une fracture de la main. Il participe néanmoins à la course et termine à une belle cinquième place.